参量估计

编辑:积极网互动百科 时间:2019-12-06 14:32:42
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参量估计(parameter estimation )用统计学中的估计理论,对接收端收到的混有噪声和干扰的信号样本,估计出有用信号参量(如振幅、频率、相位、到达时间等)的方法。
中文名
参量估计
外文名
parameter estimation
应用学科
通信

参量估计简介

常用的参量估计方法有最小平方误差估计、极大似然估计和贝叶斯估计。最小平方误差估计对信号和噪声的统计知识可以不作任何要求。极大似然估计是以似然函数的概念为基础。贝叶斯估计首先要给定随机参量θ的概率密度函数和因估计误差而带来的代价 函数。贝叶斯估计是使平均风险为最小的估计(见估计理论)。
参量估计的目的是在有限个信号观测量值中,以最佳方式估计该参量。

参量估计贝叶斯估计

准则:对不同的估计结果给出不同的代价,并使估计代价最小。
贝叶斯估计是将贝叶斯判决理论,推广到对随机参量估计的贝叶斯估计理论。
有关定义如下:
代价函数C:
若s是一参量,可在参量空间Ω中取值;
是估计量,可在判决空间A中取值。
称C(
,S)是代价函数,它是
和s的实值函数,且满足下列两个条件:
⑴ C(s,
)≥0,对所有的
,S
Ω
⑵ 对应于每个S
Ω和C(s,
)=0,在A中有一个最小的
风险函数(Risk function)
定义为代价函数的均值,即:
△ 贝叶斯估计-使风险函数最小的估计。
由于估计误差
决定估计问题中估计质量的好坏,所以,通常仅对估计值与真实值之差
感兴趣。若考虑误差函数的代价,这时C可定义为(S-
)的单变量函数,有下列三种情况:
(a) 平方误差
(b) 绝对值误差
(c) 均匀代价函数如图1。
图1 图1
贝叶斯判据:平均代价最小,即 E(c)=min。
由于c是
的函数,而
又是观察值x的函数,所以c就是x和s的联合函数,所以有:
用后验概率函数表示为:
令:
,R称为条件风险函数。
下面针对三种代价函数分三种情况探讨估计准则:
图2 图2
情况(a): 平方误差情况下,风险函数最小的估计量称为最小均方估计(minimum mean square estimation)
其风险函数为:
图3 图3
由于:p(s,x)=p(s|x)p(x)
则风险函数为:
图4 图4
∵p(x)≥0故RMS最小即等效为上式括号[ ]内项最小。
上式内项对求导,故有
则有:
图5 图5
由于
此即为最小均方估值
,表示已知x时,s的条件均值。
图6 图6
情况(b):
绝对值误差情况下,风险函数如图2:
上式括号[ ]内项如图3:
故RMS最小即等效为上式括号[ ]内项最小。于是,可令上式对
的导数为零,则有如图4:
图7 图7
ABS估计应取在后验概率密度函数面积的平分线上,即估值为条件概率密度函数的中值(median)。
——称为后验中值估计如图5
情况(c):
均匀代价函数
上式[ ]号中的后面一项如图6:
当此式最大,即p(s|x)最大时,平均代价Runf最小。此时称为最大后验估值(Maximum a Posteriori)。
图8 图8
取对数,则有如图7,既满足图8的条件。
最后,将三种情况估计式中后验概率密度函数借助于贝叶斯公式
用先验概率代替得到:
ABS估计如图9:
图9 图9
MAP估计如图10:
MS估计如图11:
图10 图10
图11 图11

参量估计极大似然估计

设x1, x2,..., xN为随机变量x的独立同分布的N个观测样值,p(x|θ)为x的依赖参量θ分布密度函数,参量θ为待估计的量。则似然函数如图12:
图12 图12
估计准则:选取使似然函数L(θ)为最大的
作为θ的估计量,称为θ的最大似然估计。
L (θ)最大等效ln L(θ)最大。要求θ的最大似然估计
,必需解似然方程:
由于对数函数的单调性,取对数似然函数进行估计,则有:
此式为必要条件,而不是充分条件。
例5.1 在假设H1和H0下,接收信号为:
H1:Zk=m+vK, k=1,2,...N
H0:Zk= vK, k=1,2,...N
当常数m为未知时,求m的最大似然估计。
图13 图13
解:用前面的检测理论是判决那个假设为真。
本节的估计理论,H1假设为真,vK为高斯噪声。、本例中,参量估计=,其均值为m,接下来的步骤如图13。

参量估计实例

以雷达系统为例,接收端收到的混有噪声和干扰的信号样本就是雷达目标的回波,通常可写成Acos[2πf(t-tr)+φ0],A是回波幅度;f是回波频率;tr是雷达波发射时间和回波收到时间之差(通常称为时延)。这些都是待估计的参量,包含着目标的散射待性、空间距离和运动速度等信息。雷达接收端的任务就是要按照数学规则,采用适当技术措施把这些混合信号变换成具有一定概率模型的信号,然后再按照设定的规则得到估计量。假设待估计的参量之一是θ,从对n个观测数据的处理所得的估计量为
一般也是一个随机变量。估计量的好坏可用它的统计特性来表示。当θ为实际参量时,称
与其真值θ之差为估计误差,用
表示,即
=θ-
。如果
的期望值为零。即
表示估计量的期望值等于真值,称为无偏估计。如果对同一参量用不同估计方法得出不同的无偏估计
如其中之一
的方差是所有估计量方差中最小的,并达到相应的下限时,则称
为有效估计。如果对任一小的正数ε有下列概率的极限关系
称为一致估计量。
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中国通信学会